デジタル情報と進数表現
コンピュータが扱う数の仕組みを、10進数と2進数の違いから桁の考え方まで、わかりやすく解説。デジタル情報の基本を楽しく学ぼう！
コンピュータと2進数の関係
コンピュータの内部では、電流が流れたかそうでないかで処理を制御しています。
このとき、電流が流れていない状態を0、電流が流れている状態を1とする2進数を使うのが合理的です。
普段使っている「10進数」
普段我々が使っている数は、10進数と言います。まず最初0を使います。
0の次にくるのは1です。1回使った数字は、一旦使えなくなります。0が使えなくなりました。
次は2、次は3と続き、最後は9になります。
全ての数を使い切ったので、桁を1つ増やします。増えた数字は、1から始めます。隣の数字が変わった場合、使用できる数字がリセットされます。
次の数は11となります。右側の数字から変わります。
何桁になろうが、数の増え方は同じです。
全ての数字を使い切ったら、
その左隣の数が進みます。そうなったら、右側の数の使用できる数字がリセットされます。
2進数での数の進み方
0と1だけを使う2進数の数の進み方はどうでしょう。0から始まるのは10進数と同じです。比較用に左上に10進数の増え方も記載しておきます。
0の次は1です。これも10進数と同じですね。
ここからが異なります。0と1はすでに使い切ってしまったので、10進数の時と同様桁を増やす必要があります。左側の桁は1、右側の桁は使用できる数字がリセットされるので、0から始めて10(イチゼロ)となります。
次の数は11(イチイチ)となります。
一番右の桁、その左隣の桁で使える数字がなくなったので、桁を増やします。以下画像のように数は増え続けます。
「位(くらい)」を考える
ここで、桁が増えるタイミングを見てみましょう。
10進数について、1桁で表すことのできる最大の数は9です。次の数は、1桁から2桁に増やして、
10とするのは先ほど確認しましたね。この時、1と0それぞれを次の通りに考えます。
まず、左の1は、10のかたまりが1つ存在する、という考え方をします。
数は進み、例えば36という数字があった場合、10のかたまりが3つ、1のかたまりが6つ存在し、これを足したものがこの数字の大きさを表します。
お金に考えるとわかりやすいでしょう。10のかたまり、つまり10円玉が3枚、1のかたまり、つまり1円玉が6枚あった場合、合計金額は36円ですよね？
桁が1つ増えても、100のかたまりと考えられます。そのあとは1000、10000と、10倍ずつ増えているのもわかるでしょう。
この 'かたまり' がまさに「位(くらい)」です。右からそれぞれ、1の位、10の位、100の位となります。
2進数の位
2進数の桁が増えるタイミングを見てみましょう。
1桁で表すことのできる最大の数は1です。次の数は、1桁から2桁に増やして、
10(イチゼロ)とするのは先ほど確認しましたね。この時、1と0それぞれを次の通りに考えます。
まず、左の1は、2のかたまりが1つ存在する、という考え方をします。この数字は1の次、10進数だと2を表すためです。
次の数11(イチイチ)は、2のかたまりが1つ、1のかたまりが1つ存在し、これを足したものがこの数字の大きさを表します。
次の数で桁がまた増えます。これにより、一番左の数は4のかたまりとなります。
それ以降は、8のかたまり、16のかたまり...と、2倍ずつ増えています。
110(イチイチゼロ)という数は、4のかたまりが1つ、2のかたまりが1つで、それを足し合わせたものが数の大きさを表すので、6となります。
この 'かたまり' が位(くらい)となるのは先ほど確認しましたね。なので右からそれぞれ、1の位、2の位、4の位となります。
まとめるとこのようになります。
ここで、10、100、1000の位を、それぞれ10の1乗、10の2乗、10の3乗の位、と考えることができます。
つまり2進数も、2、4、8の位を、2の1乗、2の2乗、2の3乗、と考えることができます。
ここで、n進数の位は、一番右の位からnの0乗の位、nの1乗の位、nの2乗の位...と続きます。
桁が増えるタイミングは1乗から2乗など、+1乗となります。また、nの0乗は基本的には1になることから、小数点の前の位は必ず1の位となります。
練習問題です。例えば8進数だった場合、それぞれ何の位になるでしょうか。
それぞれの位は、nの何乗の位になるというのは先ほどやりましたね。今回は8進数なので、n=8です。
右からそれぞれ、8の0乗の位、8の1乗の位、8の2乗の位、8の3乗の位となります。
つまり、右からそれぞれ、1の位、8の位、64の位、512の位となります。
2進数を10進数に変換する
今回は10011(イチゼロゼロイチイチ)を10進数に変換します。
まず、それぞれの数字とその桁をかけ算します。
計算結果はこのようになります。
次に出てきた数値を足し算します。今回は、16+0+0+2+1になります。
結果、10011(イチゼロゼロイチイチ)は10進数にすると19となります。
10進数も同じです。例えば453を考えます。
このとき、4は10の2乗の位、5は10の1乗の位、3は10の0乗の位です。
お金で考えるとわかりやすいです。100の位は100円、10の位は10円...ととらえ、それが何枚あるかを考えます。
100の位は4、つまり、100円玉が4枚あるというイメージです。そうすると、10円玉が5枚、1円玉が3枚になります。
それを合計すると、453円になりますが、計算の理屈はそれと同じです。
2進数も同じです。それぞれの位は右から2の0乗で始まり、一番左の位は2の4乗の位となります。
今回は、16の位、4の位、1の位がそれぞれ1です。つまり、16円玉、4円玉、1円玉が1枚ずつある状況を考えます。
合計で21円になります
10進数を2進数に変換する
10進数を2進数に変換することを考えます。考え方は、先ほどの逆です。
たとえば21という10進数を2進数に変換することを考えると、21円を、位の硬貨でどう支払うかを考えます。
このとき、硬貨の枚数は最小で支払うことを考えます。
27を2進数に変換します。
まず、何の位が必要か考えます。
今回は2進数の位を考えます。つまり、2の0乗円玉や2の1乗円玉などが必要になるとわかります。
そして、それを大きい順に並べます。
今回は、1円玉、2円玉、4円玉、8円玉、16円玉が必要です。そのあとは、32円玉、64円玉と続きます。が、今回は必要ありません。
用意した硬貨で27円を払う方法を考えます。このとき、より少ない枚数で、ピッタリ払うことを考えます。
なので、32円玉はピッタリ払うことができないので、必要ないということがわかります。
大きい金額の硬貨から考えます。16円玉は1枚使います。2枚使うと、32円になってしまいピッタリ支払えません。
硬貨の上に使用する枚数を書きます。
次に8円玉ですが、これも1枚使います。
4円玉ですが、使わないので0枚と書きます。使うと、28円になってしまいピッタリ支払えません。
2円玉は1枚使います。
1円玉は1枚使います。
これで27円がピッタリ支払えました。最後に単位の「枚」を消してみましょう。
枚数を左から数えたものが、2進数に変換したものになります。
デジタル情報と進数 - まとめ
